L’addizione fa parte delle quattro operazioni che possono essere definite come le basi della matematica, cioè le prime importanti cose che dobbiamo imparare a fare per riuscire, poi, a capire tutti gli altri argomenti di questa materia.
Una volta che avremo compreso bene come si svolgono, potremo affrontare anche le cose più complicate.
Le quattro operazioni vengono insegnate già dalle elementari, ma se chiedessimo, ora, a dieci adulti di risolverne una per scritto, magari con due o tre cifre e la virgola, la metà di loro non riuscirebbe a farla.
Perché?
Semplicemente perché, per molti anni, hanno lasciato che degli strumenti (calcolatrice, cellulare ecc.) facessero il lavoro al posto loro!
In questo modo hanno smesso di tenersi in allenamento.
Un altro motivo potrebbe anche essere il non avere mai compreso bene, fin dall’inizio, le regole che governano le operazioni.
CHIARIAMO UN PO’ DI PAROLE
All’interno di questo articolo, spiegherò per bene la prima delle 4 operazioni, ossia l’addizione. Prima, però, andiamo un attimo a ripassare i significati di alcune parole che ci serviranno per capire sia questo argomento sia altri che affronteremo in futuro.
Operazione: significa avere dei numeri che si conoscono e, usando quei numeri, fare un calcolo per ottenere un risultato che prima non si conosceva.
Calcolo: le operazioni o i passaggi che portano ad un risultato. Per esempio, quando aggiungi le unità di un numero a quelle di un altro (addizione), o quando togli da un numero tante unità quante sono scritte in un altro numero (sottrazione) ecc.
La parola calcolo, tanto tempo fa, voleva dire sassolino, perché si usavano i sassolini per fare i conti.
Unità: si riferisce al numero 1. Aggiungere un’unità significa aggiungere 1 a un altro numero.
Risultato: è il numero che viene fuori, dopo avere fatto uno o più calcoli.
Somma: il nome del risultato di un’addizione. La somma è detta anche totale.
Ora che abbiamo ripassato il significato di alcune delle più importanti parole usate in matematica, siamo pronti per cominciare a studiare l’addizione.
SCOPRIAMO L’ADDIZIONE
La parola addizione nasce dalla parola latina addere, che significa “aggiungere, unire”.
Quando facciamo un’addizione, non facciamo altro che aggiungere, unire, le unità (una quantità) di un numero a quelle di un altro, chiamato numero di partenza.
Capiamolo meglio con un esempio.
Il numero 10 è composto da 10 unità, in base alla definizione della parola unità, che abbiamo già visto prima.
Per poter aggiungere, per esempio, altre 5 unità a questo 10 iniziale, dobbiamo fare un’addizione: alle 10 unità del primo numero, quindi, ne aggiungiamo altre 5. Così facendo otteniamo come risultato un numero composto da 15 unità.
In matematica, quando dobbiamo addizionare delle quantità ad altre, usiamo il segno più (+)
L’addizione, quindi, serve per mettere insieme due o più quantità e calcolarne il totale.
Ricordiamoci che per ogni unità (cioè il numero 1) che aggiungiamo ad un numero, otteniamo quello successivo, seguendo l’andamento della semiretta orientata.
L’addizione è un’operazione che possiamo fare sempre; questo significa che, ogni volta che abbiamo due o più numeri, grandi o piccoli che siano, riusciamo sempre a unirli assieme. Alla fine, questa unione ci porterà ad avere un risultato.
Ci siamo per adesso?
Facciamo un piccolo gioco per essere sicuri che sia tutto chiaro!
LE PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE
Nell’addizione ci sono delle importanti proprietà che è bene sapere, anche perché ci capiterà di usarle più avanti.
Che cos’è una proprietà matematica?
Quando parliamo di proprietà intendiamo delle regole che rendono più facile lo svolgimento delle operazioni. In pratica, una proprietà è ciò che ti aiuta a risolvere qualcosa (problema, operazione ecc.) in modo più semplice. Ecco perché è molto importante conoscerle bene.
La proprietà commutativa
La prima delle proprietà dell’addizione si chiama proprietà commutativa.
La parola commutativo nasce dalla parola commutare, che vuol dire cambiare, sostituire una cosa con un’altra, mettere una cosa al posto di un’altra.
Cosa dice, quindi, la proprietà commutativa?
Dice che cambiando l’ordine dei numeri il risultato non cambia.
Nell’addizione, i numeri che vengono sommati assieme si chiamano addendi, quindi è più corretto dire: cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia.
Proviamo a fare un esempio per capire meglio.
Prendiamo il nostro addendo di partenza che abbiamo usato prima, cioè il 10, e a questo aggiungiamoci l’altro, ossia il 5.
Ciò che otteniamo è 15, giusto?
Ora, prendiamo il numero 5, lo facciamo diventare il numero di partenza, e a questo ci aggiungiamo il numero 10.
Che cosa otteniamo come risultato?
Sempre 15!
Cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia.
Come possiamo notare dall’esempio, a un certo punto sono stati scambiati di posto i due addendi, ma nell’addizione il risultato rimane sempre lo stesso.
Vediamo se è tutto chiaro: nel gioco proprio qua sotto bisogna trascinare ogni addizione e rilasciarla vicino alla stessa addizione alla quale è stata però applicata la proprietà commutativa.
La proprietà associativa
La seconda delle proprietà dell’addizione è la proprietà associativa.
Anche in questo caso, come prima cosa cerchiamo di capire il significato della parola “associativa”.
Il termine associativo nasce da “associare”, che significa mettere assieme.
Che cosa dice, dunque, questa seconda proprietà delle addizioni, ovvero la proprietà associativa?
Dice che la somma di tre o più addendi non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.
Vediamola meglio.
Se, per esempio, dovessimo avere tre addendi, potremmo sommare tra di loro due di questi tre addendi e poi, una volta ottenuto il risultato, unire il terzo addendo. Questo possiamo farlo nell’ordine che preferiamo.
Facciamo degli esempi.
Mettiamo il caso di avere questa addizione: 2 + 4 + 5.
Questi tre numeri, usando la proprietà associativa, possono essere sommati in questi modi:
2 + 4 = 6 poi 6 + 5 = 11
2 + 5 = 7 poi 7 + 4 = 11
5 + 4 = 9 poi 9 + 2 = 11
Come possiamo vedere dagli esempi, qualsiasi sia il modo in cui noi decidiamo di sommare questi tre numeri, il risultato non cambia.
Tutto chiaro?
Verifichiamo! Questa volta bisogna trascinare il risultato della proprietà associativa fino ad ogni addizione di partenza.
La proprietà dissociativa
Spesso si parla anche della proprietà dissociativa, ma più che una proprietà vera e propria, può essere considerata il procedimento contrario della proprietà associativa.
In questo caso, ogni addendo può essere sostituito da due o più addendi la cui somma sia esattamente il numero sostituito.
Per spiegare ciò, guardiamo l’esempio fatto per la proprietà associativa e facciamo il percorso al contrario.
Se ho:
6 + 5 = 11
posso sostituire il 6 con la somma di 2 + 4 (che, appunto, ha come risultato 6).
Quindi la mia addizione di partenza 6 + 5 = 11 diventa, secondo la proprietà dissociativa:
2 + 4 + 5 = 11
Non è difficile! Se è stata capita bene la proprietà associativa, basta fare il ragionamento al contrario.
Prova a iniziare di nuovo l’ultimo gioco di verifica fatto (quello alla fine della parte sulla proprietà associativa) pensando però di trascinare ogni addizione di partenza fino al risultato della proprietà dissociativa.
La proprietà dell’esistenza dell’elemento neutro
La terza proprietà dell’addizione è quella dell’esistenza dell’elemento neutro.
Cosa significano le parole elemento e neutro?
Elemento, in questo caso, vuol dire ognuna delle parti di cui è fatta un’unità, una parte (pezzo) di qualcosa.
Neutro: una cosa o una persona che non fa parte di nessuna categoria, che non occupa una posizione in un posto preciso.
Facciamo un esempio pratico, così da capire meglio quest’ultimo significato:
Giovanni è bravissimo a giocare a calcio, un vero campione. Il Milan sta cercando di averlo in squadra, ma c’è anche la Juve che lo desidera. Giovanni, dato che vuole rimanere neutro, decide che non entrerà a far parte né dell’una né dell’altra squadra.
Una categoria è un gruppo di cose o persone, dove ogni elemento che ne fa parte ha qualcosa in comune con gli altri. Ad esempio, una persona, essendo più brava di altre a svolgere il proprio lavoro, fa parte della categoria (gruppo) delle “persone più brave”.
Tornando alla nostra terza proprietà dell’addizione, che cosa sappiamo di essa?
La proprietà dell’elemento neutro dice che se sommiamo lo zero a un qualsiasi numero, il risultato sarà sempre il numero stesso. Infatti, in matematica, lo zero viene chiamato proprio elemento neutro, perché non cambia mai il risultato dell’addizione. Non è una quantità che va ad aggiungersi a un’altra.
Proviamo a fare, ora, un esempio per comprendere meglio questa terza proprietà:
Se al numero 2 aggiungiamo lo 0, otteniamo 2 → 2 + 0 = 2
Allo stesso modo, se aggiungiamo lo 0 al numero 7, il risultato è 7 → 7 + 0 = 7
Prima di passare alla pratica vera e propria, facciamo un quiz di ripasso, per essere sicuri di avere capito bene quanto detto fino ad ora!
L’ADDIZIONE IN COLONNA
Arrivati a questo punto, proviamo a fare un po’ di pratica.
Se quello che dobbiamo unire sono numeri da 1 a 10, la cosa è abbastanza facile (volendo possiamo anche aiutarci con le dita della mano). Come fare, però, quando i numeri diventano molto più grandi?
La soluzione è semplice: si mettono in colonna, cioè si fa in modo che le unità di tutti i numeri siano una sopra l’altra, così come le decine, le centinaia e così via.
Per capire meglio ciò che ho appena detto (e quindi anche ciò che sto per mostrarvi) è molto importante avere compreso bene il sistema di numerazione decimale. Vi consiglio vivamente di leggerlo (o ripassarlo) prima di andare avanti.
Come si mette in colonna?
Proviamo quindi a fare un’addizione in colonna, mostrando esattamente come si fa.
Consideriamo di avere 125, come numero di partenza, a cui dobbiamo aggiungere (addizionare) il numero 423.
Calcolare 125 + 423 a mente può essere complicato. Serve una soluzione per scoprire il risultato in modo molto più semplice!
Come fare? Prendiamo carta e penna e mettiamo tutto in colonna
La regola principale è allineare le unità con le unità, le decine con le decine e le centinaia con le centinaia.
Analizziamo il primo numero (125) .
Esso è formato dalle cifre:
- 5 unità
- 2 decine
- 1 centinaia
Ora, passiamo ad analizzare il secondo numero (423).
Questo è formato dalle cifre:
- 3 unità
- 2 decine
- 4 centinaia
Bene! Ora posizioniamo il secondo numero sotto al primo e, come ho scritto poc’anzi, allineiamo le unità del primo numero con quelle del secondo, le decine del primo con quelle del secondo ecc.,
Scriviamo il + accanto al primo addendo (in questo caso 125) per ricordarci che si tratta di un’addizione.
Accanto all’ultimo addendo (che per noi è il secondo, cioè 423) mettiamo un uguale, per mostrare che non abbiamo più altri numeri da sommare e che possiamo procedere con il calcolo della somma.
Infine, facciamo una bella linea orizzontale, che si chiama linea di separazione, sotto la quale scriveremo il nostro risultato.
Come si fanno i calcoli in colonna?
Adesso che è tutto posizionato, non resta che iniziare a fare la somma delle unità, poi delle decine, poi delle centinaia.
Partiamo quindi con le unità.
Nel nostro caso, iniziamo con 5 (le unità di 125) + 3 (le unità di 423).
Come sappiamo, 5 + 3 = 8
Quindi scriviamo il nostro 8 sotto la linea di separazione, lungo la stessa colonna del 5 e del 3.
Andiamo avanti!
Passiamo alla colonna delle decine.
Adesso dobbiamo sommare 2 (le decine di 125) + 2 (le decine di 423).
2 + 2 = 4
Scriviamo allora 4 sotto la linea di separazione, lungo la colonna delle decine.
Adesso non rimane che fare lo stesso procedimento anche con le centinaia!
Sommiamo 1 (le centinaia di 125) + 4 (le centinaia di 423).
1 + 4 = 5
Scriviamo 5 sotto la linea di separazione, lungo la colonna delle centinaia.
Finito!
125 + 423 = 548
Visto quanto è facile?
La somma in colonna non ha grandi rischi, ma c’è una regola importantissima che bisogna sapere.
Scopriamola!
L’addizione in colonna con il riporto
La regola è questa: sotto la linea di separazione, per ogni colonna, possono andare solo i numeri da 0 a 9.
Cosa vuol dire questo?
Facciamo un esempio sommando i numeri 837 + 958.
Prima di tutto mettiamoli in colonna.
Adesso iniziamo con le unità.
7 + 8 = 15
Ecco qui il problema!
Se per ogni colonna possono stare solo i numeri da 0 a 9, come lo scriviamo questo 15?
Per capire come fare, basta ragionare un attimo: che cos’è 15?
15 è formato da 5 unità e 1 decina!
Ciò spiega perché per ogni colonna possono stare solo i numeri da 0 a 9: perché poi abbiamo dei numeri che fanno parte delle altre colonne.
Se 7 + 8 = 15 , il 5 ha pieno diritto di stare nella colonna delle unità, mentre il numero 1 deve andare nella sua colonna, cioè quella delle decine.
Lo scriviamo allora piccolo vicino al 3 (le decine del primo addendo, cioè di 837).
Si dice che riportiamo 1 (nella colonna successiva).
In questo caso, 1 è il riporto, vale a dire quello che porto nella colonna seguente.
Passiamo ora alle decine.
Con il trucchetto che abbiamo appena fatto, non abbiamo più da sommare 3 + 5, ma 1 + 3 + 5.
1 + 3 + 5 = 9
Scriviamo 9 nella colonna delle decine (in questo caso non abbiamo riporti) e andiamo avanti con la prossima colonna.
Abbiamo quasi finito!
Non ci resta che ripetere lo stesso metodo anche nella colonna delle centinaia.
8 + 9 = 17
Adesso succede una cosa interessante: scriviamo il 7 lungo la colonna delle centinaia, e quell’ 1 che avanza?
Quello passa alla colonna successiva, come dice la regola. Nasce quindi la colonna delle migliaia, dove andremo a riportare il nostro 1.
Ora, osserviamo bene questa nuova colonna che si è formata: abbiamo all’altezza del primo addendo questo 1 che è stato riportato dal calcolo precedente.
Sotto non c’è scritto nulla, quindi è 0 (zero).
Dunque la nostra colonna ci mostra 1 + 0.
1 + 0 = 1
Scriviamo 1 come risultato in fondo alla colonna delle migliaia.
Ecco qua il nostro risultato!
837 + 958 = 1795
Ecco tutto!
Siamo giunti alla fine anche di questo articolo.
Facciamo un gioco per ripassare quello che abbiamo visto oggi!
Il segreto per diventare bravissimi è fare tanti esercizi!
Spero di essere stato abbastanza chiaro nello spiegarvi che cosa sia l’addizione. In caso di difficoltà, scrivetemi pure, Sarò ben felice di aiutarvi.
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Buono studio!